يحتاج العديد من الطلاب إلى بحث عن الاحتمال المشروط ليتمكنوا من خلاله فهم الدرس بشكل مبسط ومعرفة كافة قوانينه ومفاهيمه المختلفة.. حيث تهتم تلك الاحتمالات بالتجارب العشوائية التي يمكن توقع نتائجها من قبل حدوثها، ومن خلال الموضوع التالي المقدم لكم من موقع مثقف سوف نتحدث عن بحث عن الاحتمال المشروط.
بحث عن الاحتمال المشروط
نقدم لكم من خلال بحث عن الاحتمال المشروط بأن الاحتمال المشروط يعبر عن احتمالية حدوث شيء ما.. وتتراوح تلك الاحتمالية من صفر وإلى واحد.. ويعبر الصفر عن استحالة حدوث شيء ما، ويعبر الواحد عن أنه من المؤكد حدوث شيء ما.. كما تعتبر تلك النظرية أحد فروع الرياضة والإحصاء، ويعمل على تحليل كافة الظواهر العشوائية.
كما تعد العمليات العشوائية.. والأحداث.. والمتغيرات العشوائية هي المكونات الرئيسية لتلك النظرية والتي تشير إلى احتمالية الأعداد المنحصرة بين 0-1 ومن ثم يتم تحديد حدوث حدث معين عشوائي أو عدم حدوثه.
فائدة نظرية الاحتمال المشروط
تعد تلك النظرية من أهم النظريات التي يتم استعمالها في العديد من الأنشطة البشرية المختلفة والتي تضم التحليلات الكمية على مجموعة ضخمة من البيانات.. كما يمكن أن تنطبق الطرق الخاصة بتلك النظرية على عملية وصف الأنظمة المركبة والتي يتم معرفتها بشكل جرئي عن حالتها مثل الميكانيكا الإحصائية.
كما تمكنا من اكتشاف الطبيعة الاحتمالية للظواهر الفيزيائية في المقاييس الذرية من خلال نظرية الاحتمالات والتي تعد أحد الاكتشافات الكبيرة في القرن العشرين للفيزياء.. والتي تمكنت من وصف ميكانيكا الكم بشكل مفصل .
بالرغم من قلة القدرة على التنبؤ تمامًا بالأحداث العشوائية إلا أنه يمكن التنبؤ بالعديد من السلوكيات.
من النتائج الرئيسية الخاصة بنظرية الاحتمال المشروط والتي تتمكن من وصف السلوك هو قانون الأعداد الكبيرة.. ونظرية الحد المركزي.
القراء الذين اضطلعوا على هذا الموضوع قد شاهدوا أيضًا..
المفاهيم الرئيسية لنظرية الاحتمالات
هناك بعض المفاهيم الرئيسية الخاصة بنظرية الاحتمالات، تلك المفاهيم هي:
التجربة العشوائية
هي العملية التي نقوم بها بغرض الوصول إلى مكوناتها ولكن دون الوصول إلى نتائجها أو الوصول إلى أي النتيجة التي سوف تحدث فعلًا، وتعد هي كل عملية يمكن أن تعطي لظاهرة ما.
من أحد أمثلة التجربة العشوائية هي تجربة إلقاء حجر نرد.. وتعد تلك التجربة من التجارب المعلومة النتائج وهو وقوع أي رقم من 1 إلى 6، ولكن عند إلقاء هذا الحجر نحن لا نملك أي معلومة مؤكدة حول النتيجة.
كما أن هناك أحد الأمثلة الأخرى للتجربة العشوائية وهو إلقاء عملة نقدية، وتكون نتائج تلك التجربة أحد الاحتمالات بين الملك والكتابة، وعند إلقاء قطعة النقود نحن لا نملك أي معلومة مؤكدة عن النتيجة التي ستظهر لنا.
فضاء العينة
تعد عدد من العناصر التي تمثل النتائج الخاصة بالتجربة العشوائية، ويمكن أن تسمى أيضًا باسم فضاء النواتج أو فضاء الامكانيات ويتم الرمز لها بالرمز S.
على سبيل المثال أن فضاء العينة لعملية إلقاء حجر نرد مرة واحدة هو S={1,2,3,4,5,6}.
كما أن فضاء العينة لعملية إلقاء عملة نقدية مرة واحدة هو صورة أو كتابة.
الحدث
يعد الحدث هو عملية جزئية من فضاء العينة، والاحتمال الخاص بوقوع أي حدث ما في أحد التجارب ما هو إلا نسبة خاصة بعدد حالات وقوعه بالفعل في التجربة إلى عدد كل الحالات الممكنة فيها؛ بمعنى أن الاحتمال في حالة احتمال وقوع الحدث N والذي يتم الرمز له بـ P(N) يمكن احتسابه كما يلي:
احتمال وقوع الحدث= عدد حالات وقوعه/ عدد كافة الحالات الممكنة في التجربة.
على سبيل المثال في حالة أن الرقم 5 ظهر في تجربة إلقاء حجر نرد يتساوى مع حاصل القسمة على الحالات الخاصة بظهور العدد 1 على العدد الكلي الخاص بالحالات الممكنة في تلك التجربة وهو الرقم 6.
احتمال ظهور العدد رقم 5 في تجربة إلقاء حجر نرد هو 1/6= 0.1667
أي أن P(5)=1l6=16.67%.
قوانين أنواع الاحتمالات
هناك العديد من القوانين التي يمكن أن نطبق مع كافة أنواع الاحتمالات، وتلك القوانين هي:
- القانون العام لحساب الاحتمالات: هو قانون يطبق في حالة أنه في أي تجربة عشوائية في حالة أن هناك حدث ما وهو N، والاحتمالات الخاصة بوقوع هذا الحدث هي عبارة عن مجموعة جزئية من العدد الكلي للاحتمالات داخل التجربة والموجودة داخل فضاء العينة L فيكون:
احتمال وقوع الحدث N= عدد احتمالات وقوع الحدث N مقسومًا على العدد الكلي الخاص بالاحتمالات في التجربة والموجودة في فضاء العينة L
الحدثان المتتامان N,N والذي يكون فيه وقوع أحدهم وعدم وقوع الأخر يصبح مجموع اتحاد الجزئيتين لكل حدث هو المجموعة الكلية الممثلة لفضاء العينة، بمعنى:
N U N’= L
كما يكون: P(N) U P(N’)= 1، ونستنتج أن P(N)= 1- P(N’)
P(N’)= 1- P(N)
- قانون حساب الاحتمالات الخاصة بالأحدث المستقلة والتي تكون القاعدة فيها ضرب للاحتمالات حيث أن:
احتمال وقوع حدثين مستقلين معًا = احتمال وقوع الحدث الأول X احتمال وقوع الحدث الثاني.. كما يعبر عنها رياضيًا كالتالي:
B)= P(A)* P(B) ∩ P(A
كما يمكن تعميم تلك القاعدة للعديد من الأحداث المستقلة، حيث إن احتمال وقوع كافة الأحداث المستقلة معًا يساوي حاصل ضرب احتمال وقوع كل منهم، بمعنى:
P( A ∩ B ∩ C ∩ D….∩Z)= P(A)* P(B)* P(C)* P(D)*….* P(Z)
- قانون حساب الاحتمالات الغير مستقرة أو الأحداث المشروطة
في حالة أن لدينا حدثين غير مستقلين، تعد القاعدة حساب احتمال وقوع أحد منهم بشرط وقوع الحدث الثاني، ويطلق عليه الاحتمال المشروط، ويتم احتسابه من خلال:
احتمال وقوع الحدثN بشرط وقوع الحدث L= حاصل قسمة احتمال وقوع الحدين معًا على احتمال وقوع الحدث L.
كما بمكن التعبير عن تلك القاعدة بالرموز الرياضية فيما يلي:
P(N/L)=P(N∩ L) /p(L)
قوانين أخرى لأنواع الاحتمالات
هناك بعض من القوانين الأخرى لأنواع الاحتمالات، وتلك القوانين هي:
- قانون حساب احتمالات الأحداث المتنافية والذي يعد عبارة عن مجموعة احتمالات الأحداث الشاملة والذي يساوي الواحد الصحيح، وذلك بسبب أن اتحادها يساوي المجموعة الكلية لعناصر فضاء العينة S.
الأحداث المتنافية N,L والتي يكون التقاطع بينهما هو المجموعة الخالية ∅، ويكون احتمال الاتحاد بينهم مجموع كل حدث، بمعنى:
P( N∪ L)= P(N)+ P(L)
كما أن احتمال التقاطع بينمهم هو صفر، بمعنى:
L)= 0∩P( N
كما يمكن أن يتم تعميم تلك القاعدتين لأي حدد خاص بأعداد الأحداث المتنافية.
- قانون حساب احتمالات الأحداث المتصلة أو الأحداث غير متنافية
في حالة أي حدثين N,L متصلين وغير متنافيين يكون احتمال وقوع أحد الحدثين على الأقل هو اتحاد N مع L ويكون:
P( N∪ L)= P(N)+ P(L) – P(N∩ B)
كما يتم ملاحظة أن طرح الاحتمال الناتج عن عملية تقاطع الحدثين ظهر نتيجة تكراره في احتمال وقوع كل حدث بمفرده.. حيث إن الحدثين متصلين ويكون تقاطعهم غير المجموعة الخالية كما يوجد في الأحداث المتنافية.
كما يمكن تعميم تلك القاعدة على أي عدد من الأحداث الغير متنافية عن طريق جمع كل الاحتمالات الخاصة بوقوع الأحداث بشكل منفرد وطرح كافة التقاطعات الممكنة بها.
قدمنا لكم في هذا الموضوع بحث عن الاحتمال المشروط يتضمن العديد من العناصر التي توضح للطالب الدرس بشكل مبسط.. حيث قدمنا فائدة نظرية الاحتمال المشروط.. وقدمنا أيضًا المفاهيم الرئيسية لنظرية الاحتمالات.